Techniek beter begrijpen

Getalsystemen

Rekenen van rechts naar links

Ook al is wiskunde niet meteen je ding of baal je van cijfers, toch kan je allemaal in zekere zin wel met getallen en cijfers overweg. Doorgaans rekenen we in het tiendelig talstelsel en dat is niet ongewoon. Het heeft te maken met het feit dat we tien vingers en tien tenen hebben. Al onze eenheden zijn machten van 10. Een "eeuw" telt bijvoorbeeld 100 jaar of meer bepaald 10 tot de macht 2 (10*10=100). 
1000 komt overeen met 10 tot de derde macht of 10*10*10.

Bij getallen bepaalt de plaats van het cijfer de macht die je er aan toewijst. Het getal 92, is op de onderstaande manier samengesteld/geteld:

92
9 maal 10 tot de eerste macht2 maal 10 tot de 0de macht.
9*10=902*1=2

123 reken je op de volgende manier:

123
1 maal 10 tot de tweede macht2 maal 10 tot de eerste macht3 maal 10 tot de 0de macht
1*(10*10)=1002*10=203*1=3

Getallen lezen we op die manier van rechts naar links. Helemaal rechts zien we als positie 0 (de 0de macht). Elke stap die we naar LINKS zetten, verhoogt de macht met 1. 

...3210
...macht 3macht  2macht 1macht 0

In het tiendelig of decimaal stelsel kan je aan de factor 10 dus de macht "n" toe. En "n" verhoog je met 1 telkens je een stap naar "links" zet. 

Positie van cijfer in getal (van rechts naar links)...210
macht of exponent "n"....macht 2macht 1macht 0
factor decimaal...102101100
factor hexadeimaal...162161160
factor binair
222120

Copyright: Kris Merckx - http://www.ardeco.be - 2015

Hexadecimaal

In het artikel "rekenen van rechts naar links" kom je te weten hoe we rekenen met machten en posities.

Wij rekenen met het decimale of tiendelige talstelsel omdat we tien vingers hebben. Er bestaan echter ook andere getalsystemen, zoals het 16-delige of hexadecimale talstelsel. Daarvoor hebben we dus 16 verschillende cijfers voor nodig. In het tiendelige talstelsel gebruiken we de tien Arabische cijfers (en de van oorsprong Indische 0). We gebruiken de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tien verschillende cijfers of SYMBOLEN.

Vermits de positie van het cijfer in het getal de waarde verhoogt, kunnen we voor het hexadecimale stelsel dus niet simpel verder gaan met 10, 11, 12 enz. 

Om tot 16 verschillende symbolen te komen, gebruiken we in het hexadecimale stelsel voor de overige symbolen letters. Zo komen we eveneens tot 16 verschillende tekens:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

Hoe berekenen we het getal FF?

Cijfer
FF
Positie
10
Waarde
15*161=240
15 * 160=15

Het getal FF komt dus overeen met de waarde 255 in het decimale talstelsel. In kleursystemen gebruikt men vaak hexadecimale waardes. De kleur #FFFFFF staat voor FF waarde rood, FF waarde groen, FF waarde blauw. Als we die waardes "mengen", krijgen we wit. De waarde 00 rood, 00 groen, 00 blauw geeft zwart. Er zit namelijk geen enkele kleur in.

RGBRGBResultaat
#000000000000
zwart
#FF0000FF0000
rood
#00FF0000FF00
groen
#0000FF0000FF
blauw

Bij RGB-waardes moet je het hexadecimale getal dus eerst opsplitsen in groepjes van 2 en niet de totale waarde berekenen. Door een getal met twee posities te nemen in het hexadecimale talstelsel, kan je voor elke kleur 256 verschillende combinaties bekomen. 

  1. Rood kan een waarde krijgen tussen 0 en 255 of in totaal 256 combinaties. 
  2. Groen kan een waarde krijgen tussen 0 en 255 of in totaal 256 combinaties.
  3. Blauw kan een waarde krijgen tussen 0 en 255 of in totaal 256 combinaties.

In totaal kan je met het RGB-systeem op die manier (met enkel 6 symbolen!)
2563 = 256 * 256 * 256 = 16 777 216 kleurcombinaties samenstellen.


Bron afbeelding: 
https://en.wikipedia.org/wiki/RGB_color_model#/media/File:RGB_illumination.jpg

Copyright: Kris Merckx - http://www.ardeco.be - 2015

Het binaire getalsysteem

Wil je dit artikel goed begrijpen? Lees dan eerst "rekenen van rechts naar links". 


Het binaire talstelsel is een tweedelig talstelsel. Dat wil zeggen dat het systeem slechts twee symbolen gebruikt voor de weergave van alle getallen. Je weet het al, die twee symbolen zijn 0 en 1. 

Dit betekent dat we alle getallen schrijven met een combinatie van die twee symbolen 0 en 1. Een nul schrijven we gewoon als 0 en een 1 als 1, maar voor alle andere getallen ziet de combinatie er iets ingewikkelder uit. 123 schrijven we bijvoorbeeld als 1111011. Meestal zal je voor 123 de waarde 01111011 zien gebruiken en voor 1 schrijft men 00000001. Dit komt omdat men in binaire computersystemen gebruik maakt van groepjes van 8 tekens: één teken noemt men een "bit", een groepje van acht bits, noemt men een "byte". 

Dat is een gewoonte, want men zou evenzeer groepjes van 7 bits of 3 bits kunnen gebruiken. Met een byte (8 bits) kan men 256 verschillende combinaties bouwen met enen en nullen. Dat is ongeveer de combinatie die je nodig hebt om alle symbolen op een standaard toetsenbord een "getal" toe te kennen. 


14 schrijven we binair als 00001110. Hoe komen we op die combinatie? Het principe is precies hetzelfde als bij decimale en hexadecimale getallen. Getallen lezen we van rechts naar links. Helemaal rechts zien we als positie 0 (de 0de macht). Elke stap die we naar LINKS zetten, verhoogt de macht met 1.

...3210
...macht 3macht 2macht 1macht 0
Binair getal00001110
macht0*270*260*250*241*231*221*210*20
totaal00008420

8 + 4 + 2 = 14 

Hoe bereken je hexadecimale cijfers?



home